Geneviève Gauthier, Professeur titulaire, Service de l'enseignement des méthodes quantitatives de gestion

3-602-84 Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion

L'objectif de ce cours est l'étude des principaux processus stochastiques utilisés en gestion. Plus particulièrement, les chaînes de Markov, les processus de Poisson et de renouvellement et l'étude des phénomènes d'attente sont au programme. Les chaînes de Markov apparaissent régulièrement en finance (modélisation de l'évolution de titres en bourse), en économie et dans bien d'autres domaines liés à la gestion. Les processus de Poisson servent au dénombrement d'évènements ponctuels survenant pendant une certaine période de temps et interviennent dans les modèles de files d'attente tels qu'observés en informatique (les tâches en attente de traitement, les serveurs) en télécommunication, dans les aérogares et autres lieux de service, etc. Les processus de renouvellement correspondent à la situation où les unités d'une structure doivent être substituées au moment de leur défaillance par une nouvelle unité, qui sera active pendant un certain temps avant d'être remplacée à son tour. Nous pouvons facilement imaginer des structures comportant des pièces soumises à l'usure. Ces processus nous permettront de déterminer, dans plusieurs cas, la distribution des coûts de remplacement ainsi que les probabilités associées à des événements tels les moments de défaillance du système, etc.

Thème 1: Introduction à la probabilité (environ 4 séances)

Cette partie du cours est plus théorique et permet de développer les outils mathématiques nécessaires à la poursuite du cours. Par exemple, les notions de probabilité et d'espérance conditionnelles sont cruciales lors de l'étude des chaînes de Markov, les lois de Poisson, exponentielle et Gamma interviennent dans les processus de Poisson et les files d'attente, etc. Nous devrons intégrer des fonctions simples telles les polynômes et la fonction exponentielle. Il est de la responsabilité de l'étudiant d'effectuer, au besoin, une courte révision.

Chapitre 1.
   Introduction à la probabilité (34 pages)
   Exercices solutionnés 1
   Autres exercices 1
        Solution 1.2

Chapitre 2.
   Les variables aléatoires de lois discrètes (114 pages)
   Exercices solutionnés 2
    Autres exercices 2
        Solution 2.5

Chapitre 3.
    Les variables aléatoires de loi continue (60 pages)
    Exercices solutionnés 3
    Autres exercices 3
        Rappel: intégrales multiples (CAM)
        Rappel: intégrales multiples - réponses (CAM)

Thème 2: Chaîne de Markov (environ 4 séances)

Matrice de transition et classification des états.
Stabilité, récurrence et périodicité.
Loi stationnaire.
Probabilités d'absorption.

Les chaînes de Markov apparaissent régulièrement en finance (modélisation de l'évolution de titres en Bourse), en économie et dans bien d'autres domaines liés à la gestion. L'étudiant devra être à l'aise avec le calcul matriciel de base (addition, multiplication et inversion de matrices) et il est de sa responsabilité de combler ses lacunes.

Chapitre 4.
    Les chaînes de Markov (136 pages)
    Modèle de risque de crédit (78 pages)
        CreditMetrics (annexe 1) CreditMetrics (annexe 2) CreditMetrics (annexe 3)
    Exercices solutionnés 4
    Exercices 4
    Programmes: Diffusion des gaz Ruine du joueur Marche aléatoire Marche aléatoire 2D