%Simulation d'un mouvement brownien multidimensionnel dont les composantes sont corrélées

clear all;

n = 100		   	%le nombre de trajectoires simulées
m =1000				%le nombre de périodes de temps
Delta_t = 0.001  	%la longueur d'une période de temps

d = 3;				%dimension du mouvement brownien multidimensionnel
%Matrice de corrélation des mouvements browniens
%Nous faisons ici l'hypothèse que la corrélation est constante à travers le temps
Gamma = [1 0.2 0.8; 0.2 1 0.5; 0.8 0.5 1]
%Matrice servant à la transformation 
%d'un mouvement brownien donc les composantes sont indépendantes
%en un mouvement brownien donc les composantes sont corrélées.
%Cette matrice est construite à partir de la décomposition de Choleski
%de la matrice de corrélation.
choleski_G = chol(Gamma)

%Création du vecteur temps
temps = zeros(m+1,1);	%initialisation
for i = 1 : m
   temps(i+1,1) = temps(i,1) + Delta_t;
end

%test
%Nous permettra de calculer la matrice covariance échantillonnale 
%du mouvement brownien multidimensionnel au temps m*Delat_t
test1 = zeros(n,d);	%pour le mouvement brownien non corrélé
test2 = zeros(n,d);	%pour le mouvement brownien corrélé

%Simulation de chaque trajectoire du mouvement brownien multidimensionnel
for j = 1 : n
   %Matrice composée de mxd variables aléatoires iid N(0,1)
   %Chaque colonne contient les N(0,1) servant à construire une des composantes du brownien
   Z = normrnd(0,1,m,d);
   
   %CRÉATION D'UN MOUVEMENT BROWNIEN AVEC COMPOSANTE INDÉPENDANTES
   %Initialisation de la matrice contenant les trajectoires du mouvement brownien
   %Chacune des colonnes de cette matrice contiendra une composante du mouvement brownien
   %Les composantes du mouvement brownien sont indépendantes entre elles 
   W = zeros(m+1,d);
	%Approximation du mouvement brownien
   for i = 1 : m
      W(i+1,:) = W(i,:) + sqrt(Delta_t)*Z(i,:);
   end
   
   %CRÉATION D'UN MOUVEMENT BROWNIEN AVEC COMPOSANTES CORRÉLÉES
   Wcorr = zeros(m+1,d);
   for i = 2 : m+1
      Wcorr(i,:) = W(i,:) * choleski_G;
   end
   
   test1(j,:) = W(m+1,:);
   test2(j,:) = Wcorr(m+1,:);
   end

%trace la dernière trajectoire du mouvement brownien corrélé
plot(temps,Wcorr);

%calcul des matrices de covariance
covarianceW = cov(test1)
covarianceWcorr = cov(test2)
correlationW = covarianceW / temps(m+1,1)
correlationWcorr = covarianceWcorr / temps(m+1,1)