Probabilités (solutions)

Un agriculteur étudie le potentiel d'une de ses terres afin de décider quelles cultures y effectuer (certaines plantes nécéssitent plus de pluie au printemps, d'autres ont besoin de soleil etc...). Il s'intéresse à savoir si le printemps sera pluvieux ou non, et ensoleillé ou non.
1. L'experience se déroulera durant la saison. Donner un ensemble fondemmental associé à cette expérience. Combien d'éléments comporte-t-il?
  Si on note P: pluie, NP: pas de pluie, S: soleil, NS: pas de soleil
  OMEGA = {PS,NPS,PNS,NPNS} comporte 4 éléments.
2. Si on s'intéresse aux mêmes caractéristiques pour l'été aussi, quel devient l'ensemble fondemmental? Quelle est sa cardinalité?
  Si on note P: pluie, NP: pas de pluie, S: soleil, NS: pas de soleil, Pr: printemps et E été
  OMEGA = {PrP PrS EP ES,PrP PrS EP ENS,...PrNP PrNS ENP ENS} comporte 16 éléments.
3. Si on suppose que tous les événements ont la même probabilité, quelle est la probabilité que le printemps soit pluvieux alors que l'été sera sec et ensoleillé?
  P(PrP EP ES) = P(PrP PrE EP ES)+P(PrP PrNE EP ES) = 2/16 = 1/8
4. Quelle serait la probabilité de l'événement décrit à la question précédente si la probabilité de pluie était de 30% le printemps et 25% l'été alors que les probabilités d'ensoleillement sont inchangées?
  P(PrP et EP et ES) = P(PrP EP ES) = 0,3 * 0,25 * 0,5 = 3,75%
Un technicien assure le contrôle de la qualité de certaines pièces utilisées dans une manufacture. Chaque semaine, l'usine utilise 4800 de ces pièces. La politique de l'entreprise est d'acheter 2400 pièces chez le fournisseur A, 1600 chez le fournisseur B et 800 chez le fournisseur C. Par expérience, le technicien sait que 2% des pièces de A sont défectueuses alors que ce taux est de 3% et 5% respectivement pour les fournisseurs B et C.
1. Si le technicien prends une pièce au hasard, quelle est la probabilité qu'elle soit defectueuse?
  p(D) = p(D et A) + p(D et B) + p(D et C)
  p(D et A) = p(D|A)*p(A) = 0,02*0,5=0,01
  p(D et B) = p(D|B)*p(B) = 0,03*1/3=0,01
  p(D et C) = p(D|C)*p(C) = 0,05*1/6=0,00833
  p(D) = 0,028333 = 2,83%
2. L'examen d'une pièce montre qu'elle est defectueuse; quelle est la probabilité qu'elle vienne du fournisseur A? du fournisseur C?
  p(A|D) = p(A et D)/p(D) = 0,01/0,02833 = 0,35294 = 35,294%
  p(C|D) = p(C et D)/p(D) = 0,00833/0,028333 = 0,29411 = 29,41%
Une compagnie envisage la mise en marché d'un nouveau produit. Avant de se lancer dans cette aventure, elle effectue un sondage afin d'identifier sa clientèle cible. Elle analyse les résultats des 1000 questionaires dont elle dispose et les résultats sont les suivants en fonction de l'age:

- de 20 ans de 20 à 45 ans plus de 45 ans Total
Achèterait 100 300 200 600
N'achèterait pas 100 200 100 400
Total 200 500 300 1000
1. Quelle est la probabilité qu'une personne au hasard soit intéressée par le produit?
  p=0,6 = 60%
2. Quelle est la probabilité qu'une personne au hasard soit agée de plus de 45 ans?
  p=0,3 = 30%
3. Un cadre de la compagnie affirme que l'age n'a aucune relation avec la volonté d'acheter le produit. Qu'en pensez-vous? Pour que cette affirmation soit vraie, il faudrait que p(Ach) = p(Ach|-20) = p(Ach|20-45) = p(Ach|+45)
  or p(Ach) = 0,6
  p(Ach|-20) = 100/200 = 0,5
  p(Ach|20-45) = 300/500 = 0,6
  p(Ach|+45) = 200/300 = 0,66
Je dispose de trois dés, un vert, un bleu et un rouge que je lance. Je m'intéresse au numéro sur le dessus de chaque dé.
1. Quelle est la probabilité que je trouve 1 chaque dé?
  (1/6)^3 = 0,00462
2. Quelle est la probabilité que la somme des numéros fasse 5?
  5 = 1+1+3 = 1+2+2 = 1+3+1 = 2+1+2 = 2+2+1 = 3+1+1.
  Il y a 6 manières de trouver 5; comme chaque résultat a une probabilité de (1/6)^3, la réponse est P(x=5) = 6 * (1/6)^3 = (1/6)^2 = 1/36 = 0,027...
3. Voyant que la probabilité que la somme des numéros fasse 5 est plus grande que la probabilité que la somme des numéros fasse 3, on vous dit que si on lance les dés l'un apré l'autre, et que les deux premiers donnent un, la probabilité que le troisiè donne 3 est plus grande que la probabilité qu'il donne 1. Qu'en pensez-vous? C'est faux, la probabilité d'avoir un 1 est la même que celle de trouver un 3. Dans le calcul de la probabilité que la somme fasse 3 ou 5, on tient compte des probabilité associées aux deux premiers dés quand on sait les valeurs qu'ils ont, il ne faut plus en tenir compte.
Soit l'expérience aléatoire suivante: On lance une pièce, si elle tombe sur pile, on lance un dé et on compte les points (x) sur la face supérieure. Si elle tombe sur face, on lance deux dés et on compte les points (x) sur les faces supérieures.
1. Donner l'ensemble fondamental associé à cette expérience.
  Oméga = {P,F,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
2. Quelle est la probabilité de trouver 1 sachant que la pièce était tombée sur face?
  1/6
3. Quelle est la probabilité de trouver 1?
  p(x=1) = p(x=1|P)*p(P) + p(x=1|F)*p(F) = 1/6*1/2 +0*1/2 = 1/12
4. Quelle est la probabilité de trouver 5, 6, 7 et 12?
  p(x=5)=p(x=5|P)*p(P)+p(x=5|F)*p(F)=1/6*1/2+4*(1/36)*1/2 = 1/12+1/18=5/36
  p(x=6)=p(x=6|P)*p(P)+p(x=6|F)*p(F)=1/6*1/2+ 6*(1/36)*1/2 = 1/6
  p(x=7)=p(x=7|P)*p(P)+p(x=7|F)*p(F)=0*1/2+ 6*(1/36)*1/2 = 1/12
  p(x=12)=p(x=12|P)*p(P)+p(x=12|F)*p(F)=0*1/2+ (1/36)*1/2 = 1/72
5. On m'informe que mon voisin qui a joué à ce jeu a obtenu 2. Quelle est la probabilité que sa pièce soit tombée sur face?
  p(F|x=2) = p(F et x=2)/p(x=2)
  p(F et x=2) = p(x=2|F)*p(F) = 1/36*1/2 = 1/72
  p(x=2) = p(x=2|F)*p(F)+p(x=2|P)*p(P)=1/36*1/2+1/6*1/2 = 7/72
  donc p(F|x=2) = 1/72 / (7/72) = 1/7
6. Quelle est la probabilité de trouver une valeur comprise entre 1 et 11?
  p(x<=11) = 1 - p(x=12) = 1-1/72 = 71/72
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	- de 20 ans	de 20 à 45 ans	plus de 45 ans	Total
Achèterait	100	300	200	600
N'achèterait pas	100	200	100	400
Total	200	500	300	1000